五年级数学(下)

1. 简易方程
            含有未知数
等式 ---------------------> 方程
             就变成了
不用记等式、方程的定义。不是因为过了这学期就不会考了,而是因为仅凭潜意识你也不会把不等式认作方程。
等式的一个重要性质是:等式2边同时加上或者减去同一个数,所得的结果仍然是一个等式。
利用这个性质可以解方程,如:
x + 10 = 50 => x + 10 - 10 = 50 - 10 => x = 40
等式的第二个重要的性质是:等式2边同时乘以一个数或者同时除以一个不为0的数,等式仍然成立。
这两个性质也不用刻意记忆,因为背下来也无助于这两条规律的实际运用。有了一定量的练习,自然会进入潜意识。
中小学数学中要刻意背诵的东西屈指可数(不超过10个),从这个角度来说数学是最容易的学科,并且没有之一。


2. 两车相向而行问题
两地相距540km, 2车从2地同时相向出发,经过3小时相遇,客车速度为95km/h, 问货车速度是多少?
解:3(x+95)=540 => x=85 km/h
两船在同一地点向相反方向同时开出,8小时后相距400km,甲船速度26km/h,问乙船速度是多少?
解:(26+x) × 8 = 400 => x = 24 km/h


3. 折线统计图
表格形式:
变量1      值1       值2      值3    ......   
-------------------------------------------
变量2 值1 值2 值3 ......

折线图形式:
折线图
可见折线图比表格更直观。


4. 因数与倍数
(课本中把0算作自然数)。
2的倍数叫做偶数,不是2的倍数的叫做奇(jī)数。
2的倍数的特征是个位是0,2,4,6,8。
3的倍数的特征是各位数字的和是3的倍数。
5的倍数的特征是个位是0或5。
6是它自己的各个真因子的和,即 6 = 1+2+3, 这样的数叫做完美数(或者叫做完全数)。
目前共发现47个完美数,前几个是: 6,28,496,8128,个位数都是6或者8。
质数,合数(1既不是质数也不是合数)。
分解质因数,用短除法。
  2 |   30
     ----------
  3 |   15
     ----------
         5
哥德巴赫猜想:每一个大于4的偶数,可以表示成2个奇素数之和。如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, 12 = 5 + 7
欧拉又指出:每一个大于2的偶数都是2个素数之和。后来这2个命题被合称为”哥德巴赫猜想“。
公因数,最大公因数用圆括号表示,如 (12,18) = 6。
公倍数,最小公倍数用方括号表示,如 [12, 18] = 36。


5. 奇偶性
    奇 ± 奇 =  偶      奇 × 奇 =  奇
    奇 ± 偶 =  奇      奇 × 偶 =  偶
    偶 ± 偶 =  偶      偶 × 偶 =  偶
注意,偶数是除以2余0的数,偶数是含有因子2的数,奇数是除以2余1的数,奇数是不含有因子2的数。理解了这些就自然知道结果。
书上罗列了这些规律,但是这些是用不着死记硬背的,一旦需要死记硬背,才能做几道题目,说明对奇数、偶数的性质没有谙熟于胸,肯定不会用的好这些规律。


6. 分数
分数表示把某个整体(可以是一个物体,或者许多物体组成的集体)平均分成分母多个份数,取其中分子那么多个份数。
分数和除法直接的定义不同,但是其实是一回事,有如下的关系:
                                 被除数
被除数÷除数 = ---------------------------
                                   除数
用分数的形式来表达除法其实更方便计算。
真分数:分子 < 分母
假分数:分子 > 分母
带分数:写成整数和真分数结合的形式。
分数的基本性质:分子、分母同时乘以或者除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变。其实就是除法中商不变的规律。
约分,最简分数(分子和分母的公因数只有1)。


7. 圆、圆心(o)、半径(r)、直径(d)、扇形、弧、圆心角。
任何一个圆的周长除以直径都等于一个固定的数,叫做圆周率,记作"π"。π = 3.141592653......,是一个无限不循环小数。
今后遇到数据较大的计算,一般可以使用计算器。
圆的面积公式 S=πr²
证明过程:
把圆形分割为许多小的扇形并排成一排,把这一排扇形平面旋转180°(又是平面旋转180°)或者翻转180°,再交错地合并为一个近似平行四边形的图形,当每个小扇形都无限小时,这个平行四边形(并且是一个矩形)的面积就等于圆形的面积的2倍。所以圆形的面积S=πd•r÷2=πr²
圆面积图


8. 解决问题的策略
把不规范的形式转化为熟悉的规范化的形式,就容易求解了。
两个图形比较面积大小:
比较面积
按照教材上所说,把不规则的图形转化为熟悉的规则图形:
比较面积
按照书上说的,类似的还有:把圆形的面积化为矩形的面积来计算。分母不同的分数相互加减,要先通分。小数的乘法,先当整数来相乘(最后再点小数点)。

计算 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ......
按照教材上说的,把复杂的转化为简单的:
把复杂转化为简单
不过我没觉得转化后是更简单的形式,但显然转化为正方形更容易计算。


9. 路程、速度的问题
小明骑车从家里出发,去离家4km远的图书馆,借了书后,因为自行车坏了,乘公交车回家。下图表示在这段时间里小明离家路程的变化情况:
小明路程图
(1)小明从家去图书馆用了多少分钟?平均每分钟行了多少千米?
(2)小明从图书馆回家用了多少分钟?平均每分钟行多少千米?
解:略
设0时刻小明走了0km,然后把纵坐标改为速度,这样和以距离为纵坐标的图,表达的信息是等价的,有时用速度图来求解也可以。速度图如下:
小明速度图

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