五年级数学(上)

1. 负数表示低于某一值,亏损,反方向等情况。
1700多年前,刘徽首次明确提出正负数的概念。

2. 平行四边形的面积 = 底 × 高, S = a × h
证明过程:裁剪去一角,拼接成一个长方形。如图:
四边形面积
三角形的面积=底×高÷2, 即S=a × h ÷ 2
证明过程:
第一种证明,以盈补虚法:
三角形面积2
第二种证明,旋转拼接法:
三角形面积
梯形面积=(上底+下底)× 高 ÷ 2,即S=(a+b) × h ÷ 2
证明过程:
梯形面积
三角形、梯形、平行四边形的面积公式可以统一为梯形的面积公式 :
S=(a+b)× h ÷ 2
统一面积公式

3. 1公顷=1000平方米
1公里=1000米
1平方公里(记作1km²)=100公顷
1亩=10分
1公顷=15亩
1亩≈667平方米

4. 小数
1/100 写成小数是0.01,读作“零点零一”
4/100=0.04, 12/100= 0.12, ......
小数:123.456
1、2、3分别是百位、十位、个位, 还可以有千位、万位,等等。
4、5、6分别是十分位、百分位、千分位,还可以有万分位,十万分位,等等。
可以把小数点看作是打在各位的正下面,但是因为不好书写,所以放在了个位的右下方。
小数点后,在数字末尾添加或者擦除0,不影响数值的大小。
小数比较大小:小数点对齐,从左向右(即从高位向低位)依次比较。
分数比较大小:分母统分,再比较分子。
精确到百分位:1.496≈1.50, 这个末尾的0是有意义的,不能省去,它表示该数值和实际值的误差不超过百分位(就是最后的数字(0)所处的位置)的一半,即不超过千分之5。

5. 小数加减法
方法:小数点对齐,加法有进位的问题,减法有借位的问题。
例如:
    4.75
  + 3.4
  -------
    8.15
小数乘除法:
乘法列竖式计算,如下
     0.8                               1.1 5
    ×  3                             ×   3.2
   --------                        ----------
     2.4                               2 3 0
                                     3 4 5
                                   -----------
                                     3.6 8 0     (从末尾数出3位小数点上)

乘以如10, 100, 1000,...... 等这样的数,只要向右移动小数点1,2,3,4,......位即可。
除法列竖式计算,如:
        3.2  
      ----------------  
    3 )9.6  
        9  
       -------------  
          6  
          6  
       --------------  
          0  
得商为3.2, 余0。 商的小数点和被除数的小数点对齐。
小学的四则运算,都是需要多做练习,硬记也记不住。
又如:
         2.9  
      ------------  
    5 )12  
      -------------  
        20  
        20  
      -----------------  
         0  
商为2.4,余0。
除以如10, 100, 1000,...... 等这样的数,只要向左移动小数点1,2,3,4,......位即可。
                                                 2  
       ------------                           ------------  
  0.75 ) 1.5                 ----->       75 )150  
                                                150  
                                            ---------------  
                                                  0  

6. 四舍五入
有限小数,无限小数(无限循环小数,无限不循环小数)
              .                . .                       ..  
循环节, 如  1.6,             0.378,                   1.136  
        即  1.6666......,    0.378378378378......,    1.13636363636......  

7. 运算规律
加法和乘法都有交换律: 1.2+4.8 = 4.8+1.2,2.3*5.9 = 5.9*2.3
加法和乘法都有结合律:8.9+3.6+6.4=8.9+(3.6+6.4)
0.4×0.9×0.5 = 0.4×(0.9×0.5)
乘法对加法的分配律 2×(3+4) = 2×3 + 2×4

8. 统计表和条形统计图(二)
统计表格
如:性质1可以是性别, 性质2可以是班级,数量可以是人数等
又如:性质1可以是同学会演奏的乐器名,性质2可以是性别,数量可以是人数
统计直方图:
统计直方图

9. 解决问题的策略
用22根1米长的木条,围成长方形的花圃,怎样围面积最大。
解:找出所有可能的情况,一个一个计算:
长                  10              9                     8               7                 6  
宽                   1             2                      3               4                 5  
面颊                10             18                     24             28                30  
可见,长6米,宽5米时,面积最大。
引申:越接近最对称的情况,常常就是越接近极端值。这一规律普遍存在。
4支球队,每两支球队之间要比赛一场,问一共要比赛多少场?
画个图或者表,把可能的情况罗列清楚:
安排队伍比赛
数一下,一共有6条边,所以一共要赛6场比赛。
这一题引申出一个重要的启示,用图或表格等适当形式来表达题目,有时会更容易求解。
以上两道题都是罗列出所有可能的情况的解题办法,这是一种广泛存在、非常重要的基本的解题方法。一直到高考,考试中几乎都必有这种题型。不要瞧不上繁琐而细致地分情况讨论,不仅因为考试中必有,还因为很多大师也常用这种朴素的办法解决大问题。

10. 用字母表示数
a×4, 4×a,通常写作4•a, 或4a, 习惯上数字写在前面,字母写在后面。
a•a记作a², 读作"a的平方“。
1×a一般写作a。
法国数学家韦达最早用字母来代表数字参与运算,这是很伟大的创举。因为这样一次可以进行一群计算。

11. 钉子板上的图形的面积S, 边上的钉子的数量n, 图形内部的钉子的数量a,三者之的关系为:
S = n ÷ 2 + (a-1)
通过实验,我们可以总结出这么个规律。我目前不知如何证明它。
这个实验中,我们也可以体会到用含有字母的式子来表达规律不仅很简明,也很容易记忆。

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